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GB／T 40681.6-2021 生产过程能力和性能监测统计方法 第6部分：多元正态过程能力分析.pdf

根据表1中的数值，构建了两套控制图，见图7。 在图8中给出了（X，Y)观测值的散点图，并计算出了离差区间。用于计算区间的方法参见附录A。

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表1测量值和计算出的中心偏差

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GB 13851-2019标准下载以椭圆区域（3)为参照的位置容差和规范区域的图

图7中的X坐标和Y坐标的控制图均表明过程是失控的。因此，只能计算过程性能。 结果： 过程性能指数：P，=2.43 最小性能指数：Pk=1.48 P。的95%置信区间的上下限为：Pp.low=1.99，Pp.up=2.88。 对于Pk： P pk.low = 1.19, P k.sp = 1.48 。

.1.2通过使用与目标的距离计算Ic型能力指

将图6中的孔的中心指定为目标位置（α。，y。）=（80，一116.5）。测量了实际每个孔中心的位置坐 标（，y），它与目标位置的距离偏差为：

在表1中可找到距离D的实际计算值。 所有偏差值都绘制在图9所示的直方图中。最大允许偏差为0.25mm，因为容差带是以目标值为 中心的、直径为0.5mm的圆形区域，所以此处最大允许偏差即为该圆的半径。

在表1中可找到距离D的实际计算值。 所有偏差值都绘制在图9所示的直方图中。最大允许偏差为0.25mm，因为容差带是以目标值为 中心的、直径为0.5mm的圆形区域，所以此处最大允许偏差即为该圆的半径。

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如果产品是以目标值为中心生产出的，则实际数据集的分布将会呈瑞利分布。然而，在这种所有双 直都位于目标值之上的特殊情形下，正态分布拟合良好。 控制图中数据没有显示出稳定性（见图10）。在这种情形下，只能计算P指数。 过程能力指数的计算： 由于不存在下规范限，所以无法计算过程能力指数。 最小过程能力指数：

8.2插槽的位置和尺寸

如图5所示，要在一个零件上开个插槽，其技术功能是将第二个零件放在特定位置。凹槽的宽度

要在一个零件上开个插槽，其技术功能是将第二个零件放在特定位置。凹槽的宽度为

GB/T 40681.6—202120mm士0.2mm。为了确保零件正确安装，当插槽尺寸处于其最大实体尺寸（19.8mm)时，插槽相对于“A”的位置容差为0.1mm。该最大实体状态由符号?表示。实际上，如果算上插槽的实际宽度与最大实体尺寸之间的差，插槽位置的偏差值不超过0.1mm，则零件仍是可以接受的。图5中的矩形给出了在不应用最大材料条件的情况下的容差区域。矩形右侧扩展出的直角三角形给出了由于MMC而引起的扩展容差。第一步，定义多变量x的函数g(x），其中x；表示宽度，x?表示位置。所选函数由三个线性函数qi组成，函数形式为：q:=a1ix十a2ix2十aoi，其中i=1,2,3。设置适当的系数值以满足q(x)在目标值处取得最大值qmx=1，在容差区域边界处取得qbounl=0.5。附录D给出了确定q（x）函数的方法。第二步，获取过程数据x。为便于演示，以铣削加工过程为例，从中获取50对观测值。宽度和位置的测量值汇总在表2中。对于每个点，计算变换函数q(1，r2)的对应值。在图5中给出数据的散点图且在图11中给出单个量的控制图。表2测量值和计算的q值宽度位置宽度位置宽度位置序号q序号q序号mmmmmmmmqmmmm10.74420.1020.06180.82820.0690.09350.86220.0330.11620.84520.0620.11190.89920.040.091360.87920.0270.10.85820.0160.102200.80720.0070.123370.67120.1310.07440.84620.0350.127210.83820.0650.083380.86520.0260.10750.82920.0680.075220.78120.0870.071390.89720.0350.0970.90620.0380.091230.86620.0530.09400.77720.0010.13570.76320.0020.144240.88820.0450.096410.77120.0090.14680.78920.0840.074250.89720.0410.102420.82320.0260.1320.79820.0010.122260.76820.0930.084430.8420.0120.108100.79720.0810.069270.82420.070.084440.83220.010.111110.84120.0630.09280.8520.060.116450.87520.050.112120.87420.050.085290.82520.070.091460.88420.0310.101130.73120.1080.068300.84320.0630.097470.89420.0420.091140.79220.0830.076310.84320.0630.114480.85220.0180.106150.76320.0950.081320.81820.0730.07490.83220.0250.126160.88820.0450.081330.920.0360.096500.85420.0580.091170.81520.0080.119340.75519.9920.139从图5可以看出，宽度和位置偏差是相关的。较高的宽度值对应着较低的位置偏差值。图11中的b)和c)表明该过程的起初阶段宽度值高且位置值符合规范限。由于刀具磨损或其他系统的影响，宽度在减小，位置偏差增大。位置偏差超过了0.1mm的上规范限，此时由于最大实体状态而仍落在容差区域。图11中的a)显示了q值的走向。随着过程向量朝着目标值的方向移动，这些数值呈现出小幅度上升趋势，在接近容差限时，这些数值又呈现出下降趋势。14

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第三步，确定9值的分布。虽然因为趋势原因而使得宽度和位置偏差的分布呈非正态分布，但仍口 为q值找到合适的分布。图12给出了用于拟合q值的皮尔逊（Pearson)型分布的密度函数。

图12确定值分布的直方图和分布密度函数

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基于该密度曲线以及容差限处Qbound=0.5，II型PCI的估计如下： Ic型过程能力指数：

0.8375—0.5 0.837 50.641 4 =1.72 9.50% 90.135%

Ppk= 5.73 =1.91

此外，在适用宽度互易性要求的情形下（通过在图中宽度的后面加上?），可简化q：的表达式。通 过对宽度的额外监控，可使用表达式q=1一19.7一2作为变换函数的定义。在这种情形下，qboumd=0 适用，对合格产品有Q>0。

计算过程能力指数中多元正态分布有用的性质

均值为u、协方差矩阵为的d元正态分布的概率密度函数为

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当d=1时，该轮廓为区间的端点；当d=2时，该轮廓为椭圆；当d≥3时，该轮廊为椭球。 过程值落在椭圆轮廓区域内的概率可以根据自由度为d的X²分布来计算。如果X服从均值为 L、协方差矩阵为Z的d元正态分布，那么

其中Fz2(d)表示目由度为d的义"分布的分布函数。 由此得出，X落人以轮廊椭球

为边界的区域的概率为p。此处F2a)（p）是自由度为d的X²分布的p分位数，有时也记 为X（d）。 如果X，，X，是来自均值为μ、协方差矩阵为的d元正态分布的样本，则μ和的估计为

其中“”读作“由…估计”

A.2定义多元过程能力的出发点

首先考虑一维情形下的C。指数。 容素区日为工 程分布的中心与容差中心重合。那么过程值落入容差区间（规格区间)内的概率为： L+U L+U L+U

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其中P是过程分布服从均值为容差中心、方差为。的正态分布时，过程值位于容差区间内的 概率。 接下来考虑一维情形下的C、Cpku和Ck指数。考虑均值为u、方差为α²的正态分布，且假定 大于(U十L)/2但小于U，即过程均值μ在容差区间内，但是μ更接近容差区间上限而非下限。那么 这种情形下以过程均值为中心且完全包含于容差区间的最大区间为[2μ一UU]，则过程值位于该区间 内的概率为，

2Φ —1=2Q(3Cpk）—1

当μ大于（U+L)/2时，则Cpku小于Ckl且 C =min(Cpku,Cpkl ) =Cpk 如果μ介于L和(U十L)/2之间，则类似的计算给出

在这两种情形下，C的公式为

在这种情形下，Cpku小于Cpkl且 Cpk=min(Cpku,Cpkl.)=Cpk 因此该公式适用于C，即

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把该定义推厂到多元止态分布过程的能力指数，其想法是原定义中的区间在二元止态分布情形下 d=2时）用椭圆代替，而在多元正态分布情形下（d≥3时）用椭球代替。 考虑协方差矩阵为的d元正态分布。为了计算多元C。指数，应将该正态分布的均值设定在容 差区域的中心。在此假设条件下要确定完全包含在容差区域内的最大轮廊椭球，并确定在协方差矩阵 为均值位于容差区域中心的d元正态分布下，过程值位于该最大轮廓椭球内的概率。由P表示此概 率。那么，多元C，指数为

为了从&维数据中估计Cp指数，首先要由该数据来估计多元正态分布的协方差矩阵。用≥表示 估计值并使用该协方差矩阵来确定轮廊椭球及相应概率P。最后，多元C，指数的估计为

C指数的计算涉及分布的均值和方差，因此考虑均值为μ、协方差矩阵为的d元正态分布。对 于N。（μ，Z)分布，如果过程均值μ含在容差区域内，那么最大的轮廓椭球完全含于容差区域内；如果 过程均值μ不包含在容差区域内，那么最大的轮廓椭球不包含在容差区域内。现在，在N。（μ，Z)分布 下，计算过程值位于该最大轮廊椭球内的概率P。最后，C指数计算如下： 如果过程均值μ包含在容差区域内，则

为从d维数据来估计C指数，首先要由该数据中估计多元正态分布的均值和协方差矩阵，分另 和≥。现在，C指数的估计仍按上述原则计算，但要基于N。（i，≥)分布。故有如下公式 如果在容差区域内，则为

果在容差区域内，则为

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附录B （资料性附录） 轴不平衡示例

测量尺寸不平衡描述了以转子的形状轴为基础，转子的（实际）质量分布与理想质量分布之间的偏 差。不平衡的轴向分布通过与两个不同平面相关的不平衡指数来评估。目前转子方案的选择是随机 的。然而，对于过程能力的测量来说，所有不平衡容差和残余不平衡值的指数都是从相同方案中显示出 来的，这一点非常重要。有关尺寸不平衡的更全面的定义和解释，见参考文献中的详细解释。因为已有 相关参考文献为基础，所以此处使用的技术术语不再给出定义， 要进行校准的不同转子数量非常多。原则上，本部分描述的统计方法与转子尺寸无关。但是，某些 转子尺寸、加速度以及制动过程非常耗时，在这种情况下，可以在转子恒速转动周期内进行重复测量。 测量尺寸不平衡的一个特征是它是二元的量。在此示例中，描述了过程能力的计算。校准过程的 目的在于，考虑到约定的能力指数，从而对容差域给出的残余不平衡作限制。残余不平衡的分布既包含 随机失效影响，也包含系统故障影响。这些观测到的二元尺寸偏差与容差域之间所存在的差异，在本部 分通过使用PCI而进行了阐释。 作为结果，完全明确地区分二元量或单变量形式下的正确计算或错误计算是不可能的。因此，（正 常情况下）二元量变量是更为优选的。而在所描述的两种例外情况下，单变量计算则最符合实际情况。 但是，参与过程评估的各方需事先就所述评估方法的合理使用达成一致。 以这种方式出现的指数是根据单变量尺寸过程能力的经验按比例进行缩放的。尽管过程能力指数 的设计基于相同的理念，但是对过程能力指数值对应的质量要求，比如1.67，在没有比较的情况下，可能 对于二元测量过程的要求比单变量测量过程的要求更高。 另一个对校准过程统计评估有影响的重要量是存在或不存在转子内角系统。例如电锚通常不具有 其自已的角度系统标记。相反，曲轴则有明确的、适合使用的角度系统。在第一种情况下，重复的不平 衡测量（假定每次测量的结果都没有错误）通常对该不平衡显示出相同的效果，尽管每次测量都是来自 另一个不同的角度。此外，在转子生产过程中给定的情况下，可能会导致前提条件（二元正态分布）不能 满足此处所描述的计算

B.2检查能力指数的示例

用控制图可以证明过程的稳定性， 不平衡测量在两个不同的测量水平进行。 不平衡的规范限是140gmm。 在机器上进行校准的曲轴样本量为n=40。 表B.1可获得残余不平衡值。它们的图示见图B.1和图B.2。

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图B.2残余不平衡水平2 一带有随机变化区间和容差的不平衡的图

结果： 水平1：过程能力指数：1.37 最低过程能力指数：1.36 水平2：过程能力指数：1.41 最低过程能力指数：1.36

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C.1偏离目标点距离的数值示例

考虑在零件生产过程中的钻孔活动。指定目标位置（Toy。）为孔的中心。位置坐标（o，y。)相对 于某个指定的参照点测量得到。用坐标（，y）表示所钻孔的中心，则孔位的位置偏差D定义如 式（C.1)所示（参见GB/T1182）。在这种情形下，规范限通常由圆心为（。，y。）且直径为D。的圆给出。 因此，D作为过程的一个量可用于质量保证中的过程能力分析。

D可视为所实现的孔位二维坐标的一维概括。 假设有两个如图C.1所示的二元正态分布。这些分布被视为两个过程的过程位置分布，分别记过 两个过程为过程A和过程B(见图C.1）。它们的协方差矩阵分别为

明显地从图C.1中可以看出过程B比过程A的过程能力更高。但是：

图C.1过程A（左图）和过程B右图）的两个分

Var(DA)=(2),Var(Ds)=

故从D的标准差来判断，过程A比过程B的过程能力更高。 D明显是质量上需要保障的一个量。该数值示例表明，要保障的量未必与要控制的量一致。

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图C.4给出了数值D的直方图，对应样本量为50。过程能力指数C，为1.35。该C，值表明该过 程能力处于高水平。然而，当生产阶段进人大规模生产时，出现了一个不合格的问题。虽然过程能力已 经高度可接受了，但是为什么还会出现这个问题呢？

C.2连续直动工作机床

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图C.4几何量D的直方图

图C.5给出了所钻孔中心点的二维散点图，其中目标位置（r。，y。）设在坐标原点。图C.5表明r 坐标的离散程度远大于y坐标的离散程度。记坐标和y坐标的标准偏差分别为s和s。则s.= 0.0177，s，=0.0050。结果，过程能力C,（r）和C,（y）分别为C，（）=0.94且C，（y）=3.35。坐标 的过程能力比坐标的过程能力要小得多

生成孔中心的二维散点

轨道交通9号线R413项目西岔道井土方开挖及支撑安装施工组织设计方案.docxGB/T40681.62021

可能导致位置波动的原因有：夹具位置的波动、零件放置产生的波动等。然而，上述结果是由连续 自动工作机床的转台所造成的（见图C.2）。因此，可以确认的是，过程能力低是由于转台停止位置的变 化引起的，这解释了坐标方向的变化，这是连续自动工作机床中一个严重的常见原因。 实际上，选择量D作为该过程的控制量是导致无效的原因，

可能导致位置波动的原因有：夹具位置的波动、零件放置产生的波动等。然而，上述结果是由连 动工作机床的转台所造成的（见图C.2）。因此，可以确认的是，过程能力低是由于转台停止位置的 引起的，这解释了坐标方向的变化，这是连续自动工作机床中一个严重的常见原因。 实际上，选择量D作为该过程的控制量是导致无效的原因

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8.2中给出了变换函数q（α）的构造。 首先，定义一组变换函数g;（△r）,其中i=1（1)M。这些函数定义了容差域。每个容差限制都 一个函数。规格给出了目标点uarget与α（arget）=Qmax=1。将偏离目标向量uarger的偏差（每个 中从测量值到目标值之间的差）表示为△并进行计算

8.2中给出变换函数q（3）的构造 首先，定义一组变换函数g;（△r）,其中i=1（1)M。这些函数定义了容差域。每个容差限制都给 定了一个函数。规格给出了目标点uarget与α（工target）=qmax=1。将偏离目标向量target的偏差（每个维 度中从测量值到目标值之间的差）表示为△z并进行计算。 Ar= (1arget1,2arget2,)T 变换函数g：（△r）（示例中M=3)被选择为下列形式的线性函数： g:(Ar)=bT· Ar+c;

min=min(t:/t;≥0) 根据tmin，计算一个值α（）来描述与目标的差异： a(r,target)=1/tmin(rg;(r)) 因此TB／T 3288-2013标准下载，可使用线性函数将q（）按比例缩放到qmx=1及qbound=0.5： (1a(X)/2,如果a(α)≤2 q()= 0,如果α(r)>2

g:(Ar)=bT.Ar+c

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